연금 미래가치 계산법

연금의 미래가치 계산 공식을 이해하려면 현금흐름이 어떻게 발생하는 가를 그려보는 것이 도움이 됩니다.

매년 초 일정한 금액 A를 받는 현금흐름의 n년말 시점 미래가치를 계산하려고 한다면 아래와 같은 현금흐름을 그려 볼 수 있습니다.

연금이기 때문에 여러 번의 현금흐름이 발생하죠. 연금 미래가치 계산은 이 각각의 현금흐름에 대해 일정시점(여기서는 n년말)의 미래가치를 계산한 후 모두 더해 주면 됩니다. 연 이자율을 R이라 하고 연초 연금 흐름 각각에 대해 미래가치를 계산해 보면 아래와 같습니다.

 이제 연초 연금의 미래가치 계산 공식을 도출할 수 있게 되었습니다. 위 이미지에서 제일 오른쪽 끝 n년차 말 시점의 금액을 모두 더해 주면 되는 것입니다. 즉, n년차 말 시점의 A(1+R), A(1+R)^2, \ldots , A(1+R)^n 을 모두 더해 주면 되는 것이죠.

연초 연금의 n년말 시점 미래가치는 A(1+R) + A(1+R)^2 + A(1+R)^3 + \ldots + A(1+R)^{n-1} +A(1+R)^n 인데요, 등비수열의 합 공식을 이용해서 간단하게 정리할 수 있습니다.

초항이 a, 공비가 r, 항수가 n개인 등비수열의 합 공식은 \frac{a(r^n-1)}{r-1}인데요, 우리는 a 대신에 A(1+R), r 대신에 (1+R)을 대입하여 다음과 같이 연초 연금 미래가치 공식을 얻을 수 있습니다.

연 이자율이 5%인 경우 연초에 10만원씩 받는 연금의 20년 후 연말 시점의 미래가치는 위 공식을 적용하면 \frac{10(1+0.05) \Big[(1+0.05)^{20} - 1 \Big]}{0.05} \doteq 347만원 이라는 것을 알 수 있습니다.

기왕에 연금 미래가치 계산법에 대해 알아보고 있는 만큼 연초가 아니라 매월 초에 연금을 받는 경우도 알아 볼까요?

앞에서 도출한 미래가치 공식을 조금만 수정하면 됩니다. 공식은 1년에 한 번 받는 것을 가정했는데, 1년에 12번 받으니까 항의 갯수는 n \times 12 로 늘어 납니다. 각각에 대한 이자율도 연 이자율이 아니라 월 이자율로 환산해 주어야 되니까 R 대신에 \frac{R}{12}을 쓰면 되겠습니다. 따라서 월초에 받는 연금의 미래가치 공식은 다음과 같이 도출 되겠네요.

공식이 조금 복잡해 보이죠. 매월 초 받는 연금 미래가치 공식은 굳이 기억하지 않아도 됩니다. 매년 초 받는 연금의 미래가치 공식을 이해하고 있으면 자연스럽게 도출할 수 있으니까요.

시험 보는 학생이 아니라면 사실 공식을 기억할 필요 없습니다. 연금 미래가치 계산기를 이용하면 되니까요.

이제 이 글의 끝부분에 도착해 갑니다. 연금을 매년 초가 아니라 매년 말에 받는 경우를 생각해 볼 시간입니다.

연말에 받는 연금의 현금흐름과 각각의 n년 말 시점 미래가치를 그려 보면 다음과 같게 되겠지요.

연말 연금의 미래가치는 앞에서 본 것과 마찬가치로 각각의 현금흐름에 대해 n년차 말 시점의 미래가치를 계산한 것들(위 이미지에서 n년차 말 밑의 현금흐름 모두)를 더해 주면 됩니다.

연초 연금과 거의 비슷하죠. 차이가 있다면 제일 밑의 금액이 A(1+R)이 아니라 A라는 것과 제일 위의 금액이 A(1+R)^{n}가 아니라 A(1+R)^{n-1}라는 것입니다. 항의 갯수는 연초 연금의 경우와 같은 n개 입니다. 제가 고등학생 시절에 항의 갯수가 n개라는 것이 잘 이해가 안되서 고생을 했는데요,

제일 마지막 금액의 차수가 (n-1)이어서 항의 갯수는 (n-1)개가 아닌가… 라고 생각을 했던 것인데, A부터 시작을 해서 A(1+R)^1 \ldots A(1+R)^{n-1}까지 가는 것이기 때문에 항의 갯수는 n개라는 것을 한참 지나서 이해했던 기억이 나네요.

사람마다 헷갈리는 지점은 조금씩 다르기 때문에 여러분은 잘 이해하셨으리라 믿습니다.

어쨌든 이제 연말 연금 미래가치 공식을 도출할 수 있게 되었습니다.

A, A(1+R)^1, A(1+R)^2 , \ldots , A(1+R)^{n-1} 을 모두 더해 주는데, 여기에 등비수열의 합 공식을 이용하면 연말 연금의 n년말 시점 미래가치 공식은 다음과 같게 됩니다.

연말이 아니라 매월 말에 받는 연금의 경우는 앞에서 본 것처럼 n 대신에 n \times 12 , R 대신에 \frac{R}{12}을 대입하면 되겠지요. 따라서 월말에 받는 연금의 미래가치 공식을 다음과 같이 도출할 수 있습니다.

문제 하나를 풀어 볼까요? 연 이자율이 5%인 경우에 매달 말 10만원 씩 받는 연금의 10년 후의 연금의 미래가치를 계산하려면 위의 공식에 대입만 해 주면 됩니다.

지금까지 연금의 미래가치 계산법과 공식에 대해 알아 보았습니다. 연금 미래가치 계산기도 있으니 굳이 계산법이나 공식을 알고 있어야 하는 것은 아니지만, 대략 어떤 식으로 계산하더라… 하는 감은 알고 있는 것이 좋습니다.

글 머리에서도 이야기 했지만 연금 미래가치는 복리 저축이나 복리 투자에 그대로 적용할 수 있거든요.

재테크로 돈을 모으기 위해서는 ‘복리’를 머리 속에 넣어 두고 복리로 돈을 불릴 수 있는 방법을 찾아야 하는데, 연금 미래가치 계산법은 복리 개념을 이해하기에 좋은 소재라고 생각합니다.

공식을 기억하고 있을 필요는 없지만 연금처럼 불어나는 복리 투자를 항상 염두에 두시기 바랍니다.